جواب تمرین صفحه ۴۲ ریاضی نهم

در این نوشته با جواب تمرین صفحه ۴۲ ریاضی نهم همراه شما هستیم.

جواب تمرین صفحه ۴۲ ریاضی نهم

١- آیا اثبات مسئله زیر معتبر است؟ برای پاسخ خود دلیل بیاورید.
مسئله: در هر مثلث، اندازهٔ زاویهٔ خارجی با مجموع اندازه‌های دو زاویهٔ داخلی غیرمجاور با آن برابر است.

اعتبار ندارد چون مثلث را متساوی‌الاضلاع فرض کرده است و استدلال را بر این اساس انجام داده است. در صورتی که مسئله مثلث دلخواه را مورد سوال قرار داده است نه متساوی‌الاضلاع را.

۲- در سال گذشته با تعریف چند ضلعی‌های محدب آشنا شدید. تعریف چندضلعی محدب را می‌توان بدین صورت هم آورد: «یک چندضلعی محدب است؛ اگر هر پاره خطی که دو نقطهٔ دلخواِه درون آن چندضلعی را به هم وصل می‌کند، به طور کامل درون آن چند ضلعی قرار بگیرد.» هر ضلعی که محدب نباشد، مقعر است. آیا تشخیص‌های سه دانش آموز در مورد محدب و مقعر بودن چندضلعی‌های زیر و دلایلی که ارائه کرده‌اند، با توجه به تعریف بالا درست است؟ پاسخ خود را توضیح دهید.

نرگس: چند ضلعی مقابل محدب نیست؛ زیرا نقاط P و Q درون آن قرار دارد اما پاره خطی که آنها را به هم وصل می‌کند، به طور کامل در آن قرار نمی‌گیرد.

او با یک مثال نقض نشان داده است که چند ضلعی محدب نیست. بنابراین استدلال معتبری است.

مهدیه: چندضلعی مقابل محدب است؛ زیرا نقاط T و S درون آن قرار دارد و پاره خطی که آنها را به هم وصل می‌کند، نیز به طور کامل در آن قرار دارد.

او برای استدلال خود به ذکر یک مثال استناد کرده است. یک مثال نمی‌تواند درستی یک موضوع را در حالت کلی نشان دهد. به راحتی می‌توان نقاط دیگری در این شکل پیدا کرد که پاره خط واصل آنها به طور کامل داخل چندضلعی نباشد.

مریم: چندضلعی مقابل محدب است؛ زیرا نقاط M و N درون آن قرار دارد و پاره خطی که آنها را به هم وصل می‌کند، نیز به طور کامل در آن قرار دارد.

او نیز برای استدلال خود به ذکر یک مثال استناد کرده است. یک مثال نمی‌تواند درستی یک موضوع را در حالت کلی نشان دهد. او باید استدلال خود را به صورت زیر اصلاح نماید:
 برای هر نقطۀ M و N دلخواه درون چندضلعی، این خاصیت برقرار است.

۳- آیا استدلال‌های زیر درست است؟ پاسخ خود را توضیح دهید.

الف) طبق فرض، هر مستطیل یک متوازی‌الاضلاع است. پس نمی‌توان استدلال کرد که یک متوازی‌الاضلاع مانند ABCD یک مستطیل باشد.

ب) در فرض فقط به مساوی بودن ضلع‌های مربع اشاره شده است و در مورد شکل‌های دیگری اطلاعاتی وجود ندارد، پس نمی‌توان نتیجه گرفت که ضلع‌های یک چهارضلعی مانند ABCD با هم برابر نیستند.

ج) در فرض به برابری ضلع‌های مربع اشاره شده است. بنابراین اگر چهارضلعی وجود داشته باشد که ضلع‌های آن برابر نباشند، قطعاً مربع نیست.

۴- ثابت کنید هر نقطه که روی نیمساز زاویه قرار دارد، از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است.

یادآوری: فاصلهٔ یک نقطه از یک خط برابر است با طول پاره خطی که از آن نقطه بر خط عمود می‌شود.

راهنمایی: یک زاویهٔ دلخواه بکشید و نیمساز آن را رسم، و یک نقطه روی این نیمساز مشخص کنید. ثابت کنید فاصلهٔ این نقطه از دو ضلع زاویه با هم برابر است و سپس دلیل آن را که این نتیجه برای همهٔ نقاطِ روی نیمساز درست است، بیان کنید.

چون AM نیمساز زوایه A است پس Aˆ۱+Aˆ۲
چون MH بر Ac و MK بر Ab عمود است پس Hˆ۱+Kˆ۲

با توجه به دو فرض بالا و اینکه مجوع زوایای داخلی هر مثلث برابر ۱۸۰ درجه است، پس Mˆ۱+Mˆ۲
بنابراین دو مثلث ΔAHM و ΔAKM به حالت (ز‌ض‌ز) همنهشت هستند و اجزای متناظر آنها هم، با هم مساوی هستند. پس MH=MK

ویژگی‌هایی که در این استدلال استفاده شده است برای هر نقطۀ دیگر روی نیمساز برقرار است و بنابراین این استدلال در حالت کلی برای هر نقطه روی نیمساز معتبر است.