جواب تمرین صفحه ۳۱ ریاضی دهم انسانی

در این نوشته با جواب تمرین صفحه ۳۱ ریاضی دهم انسانی همراه شما هستیم.

جواب صفحه ۳۱ ریاضی دهم انسانی

۱ معادله های درجهٔ دوم زیر را حل کنید.

 \({x^2} – x = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\\\b = – 1\\\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \Delta = {b^2} – 4ac = {( – 1)^2} – 4(1)(0) = 1\\\\ \Rightarrow x = \frac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{1 \pm \sqrt 1 }}{{2(1)}} = \frac{{1 \pm 1}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 – 1}}{2} = 0\\\\x = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\end{array} \right.\end{array}\)

 \(2{x^2} + x – 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\\\b = 1\\\\c = – 1\end{array} \right. \Rightarrow \Delta = {b^2} – 4ac = {1^2} – 4(2)( – 1) = 1 + 8 = 9\\\\ \Rightarrow x = \frac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 9 }}{{2(2)}} = \frac{{ – 1 \pm 3}}{4}\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ – 1 – 3}}{4} = – 1\\\\x = \frac{{ – 1 + 3}}{4} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

 \(4{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\\\b = – 4\\\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow \Delta = {b^2} – 4ac = {( – 4)^2} – 4(4)(1) = 0\\\\ \Rightarrow x = \frac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{4 \pm \sqrt 0 }}{{2(4)}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\end{array}\)

 \({x^2} + 17x – 18 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\\\b = 17\\\\c = – 18\end{array} \right. \Rightarrow \Delta = {b^2} – 4ac = {(17)^2} – 4(1)( – 18) = 361\\\\ \Rightarrow x = \frac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 17 \pm \sqrt {361} }}{{2(1)}} = \frac{{ – 17 \pm 19}}{2}\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ – 17 – 19}}{2} = – 18\\\\x = \frac{{ – 17 + 19}}{2} = 1\end{array} \right.\end{array}\)

 \(3{x^2} – x + 4 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\\\b = – 1\\\\c = 4\end{array} \right. \Rightarrow \Delta = {b^2} – 4ac = {( – 1)^2} – 4(3)(4) = – 41\\\\ \Rightarrow \Delta < 0\end{array}\)

به دلیل \(\Delta < 0\)، معادله فوق جواب ندارد.

 \({x^2} + \sqrt 3 x – 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\\\b = \sqrt 3 \\\\c = – 1\end{array} \right. \Rightarrow \Delta = {b^2} – 4ac = {(\sqrt 3 )^2} – 4(1)( – 1) = 7\\\\ \Rightarrow x = \frac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – \sqrt 3 \pm \sqrt 7 }}{{2(1)}} = \frac{{ – \sqrt 3 \pm \sqrt 7 }}{2}\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ – \sqrt 3 – \sqrt 7 }}{2}\\\\x = \frac{{ – \sqrt 3 + \sqrt 7 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

۲- معادلهٔ \(2{x^2} – 3x – 5 = 0\) را به روش \(\Delta \) حل کنید. با محاسبهٔ ریشه های \({x_1}\) و \({x_2}\) حاصل ضرب آنها را به دست آورید.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\\\b = – 3\\\\c = – 5\end{array} \right. \Rightarrow \Delta = {b^2} – 4ac = {( – 3)^2} – 4(2)( – 5) = 49\\\\ \Rightarrow x = \frac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – ( – 3) \pm \sqrt {49} }}{{2(2)}} = \frac{{3 \pm 7}}{4}\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{3 – 7}}{4} = – 1\\\\{x_2} = \frac{{3 + 7}}{4} = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} \times {x_2} = ( – 1) \times \frac{5}{2} = – \frac{5}{2}\end{array}\)

۳- اگر یکی از جواب های معادلهٔ \(2{x^2} – ax + 28 = 0\) برابر ۴- باشد، جواب دیگر این معادله چیست؟

روش اول:

\(\begin{array}{l}x = 4\,\,\,\,\,(1)\\\\\Delta = {( – a)^2} – 4(2)(28) = {a^2} – 224\,\,\,\,\,(2)\\\\x = \frac{{ – ( – a) \pm \sqrt \Delta }}{{2(2)}} = \frac{{a \pm \sqrt \Delta }}{4}\\\\ \Rightarrow 4x = a \pm \sqrt \Delta \Rightarrow \pm \sqrt \Delta = 4x – a\mathop \Rightarrow \limits^{{{()}^2}} \Delta = {(4x – a)^2}\\\\(1)\,\,\,,\,\,\,(2) \Rightarrow {a^2} – 224 = {(16 – a)^2}\\\\ \Rightarrow {a^2} – 224 = 256 – 32a + {a^2} \Rightarrow 32a = 480 \Rightarrow a = 15\\\\ \Rightarrow \Delta = {a^2} – 224 = {(15)^2} – 224 = 225 – 224 = 1\\\\ \Rightarrow x = \frac{{a \pm \sqrt \Delta }}{4} = \frac{{15 \pm \sqrt 1 }}{4} = \frac{{15 \pm 1}}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{15 + 1}}{4} = 4\\\\{x_2} = \frac{{15 – 1}}{4} = \frac{7}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

روش دوم:

یک روش دیگر برای محاسبه دومین ریشه وجود دارد و آن به صورت زیر آمده است:

برای معادلات درجه ۲ به فرم \(a{x^2} + bx + c = 0\) ، رابطه زیر بین حاصل ضرب دو ریشه ی ضرایب معادله برقرار است:

\({x_1} \times {x_2} = \frac{c}{a}\)

بنابراین برای معادله \(2{x^2} – ax + 28 = 0\) داریم:

\(\left. \begin{array}{l}{x_1} \times {x_2} = \frac{{28}}{2} = 14\\\\{x_1} = 4\end{array} \right\} \Rightarrow 4 \times {x_2} = 14 \Rightarrow {x_2} = \frac{{14}}{4} = \frac{7}{2}\)

۴- مساحت مثلث و مستطیل در شکل زیر مساوی اند، طول و عرض این مستطیل چقدر است؟

\( = \frac{{2x \times (3x + 6)}}{2} = 3{x^2} + 6x\) مساحت مثلث

\( = (۳x + 2) \times (x + 1) = 3{x^2} + 5x + 2\) مساحت مستطیل

\( \Rightarrow 3{x^2} + 6x = 3{x^2} + 5x + 2 \Rightarrow x = 2\) مساحت مستطیل = مساحت مثلث

\( = ۳x + 2 = 8\) طول مستطیل

\( = x + 1 = 3\) عرض مستطیل

۵ کدام یک از معادله های زیر به ازای هر مقدار a همواره دارای جواب های حقیقی است؟

\({x^2} + ax – 1 = 0\) الف

\(\Delta = {a^2} – 4(1)( – 1) = {a^2} + 4 > 0\)

این مقدار همیشه مثبت است زیرا به ازای همه مقادیر a معادله مثبت بوده در نتیجه دارای دو ریشه است.

\({x^2} – x + a = 0\) ب

\(\Delta = {( – 1)^2} – 4(1)(a) = 1 – 4a \ge 0 \Rightarrow 4a \le 1 \Rightarrow a \le \frac{1}{4}\)

این معادله به ازای مقادیر a کوچکتر از \(\frac{1}{4}\) و مساوی آن مثبت بوده، در نتیجه در این بازه دارای دو ریشه است.

۶- نشان دهید در معادلهٔ درجه دوم \(a{x^2} + bx + c = 0\) اگر a+c=b باشد. یکی از ریشه های معادله برابر x=-1 و دیگری \(x = – \frac{c}{a}\) است.

\(\begin{array}{l}a{x^2} + bx + c = 0 \Rightarrow \Delta = {b^2} – 4ac = {(a + c)^2} – 4ac\\\\ \Rightarrow \Delta = {a^2} + 2ac + {c^2} – 4ac = {a^2} – 2ac + {c^2} = {(a – c)^2} > 0\\\\ \Rightarrow x = \frac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – (a + c) \pm \sqrt {{{(a – c)}^2}} }}{{2a}}\\\\ \Rightarrow x = \frac{{ – a – c \pm (a – c)}}{{2a}}\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ – a – c – (a – c)}}{{2a}} = \frac{{ – 2a}}{{2a}} = – 1\\\\{x_2} = \frac{{ – a – c + (a – c)}}{{2a}} = \frac{{ – 2c}}{{2a}} = – \frac{c}{a}\end{array} \right.\end{array}\)

۷- با تعیین ریشه های معادله نشان دهید حاصل ضرب ریشه های معادلهٔ درجه \(a{x^2} + bx + c = 0\) درجه دوم برابر \(\frac{c}{a}\) است.

\(\begin{array}{l}x = \frac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}}\\\\{x_2} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow {x_1} \times {x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} \times \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{{{( – b)}^2} – {{(\sqrt \Delta )}^2}}}{{4{a^2}}} = \\\\\frac{{{b^2} – \Delta }}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} – ({b^2} – 4ac)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}\end{array}\)

۸- نشان دهید در هر معادلهٔ درجه دوم \(a{x^2} + bx + c = 0\) اگر مجموع ضرایب معادله برابر صفر باشد (a+b+c=0) یکی از ریشه های معادله برابر x=1 و دیگری \(x = \frac{c}{a}\) است.

\(\begin{array}{l}a + b + c = 0 \Rightarrow b = – (a + c)\\\\a{x^2} + bx + c = 0 \Rightarrow \Delta = {b^2} – 4ac = {( – (a + c))^2} – 4ac\\\\ \Rightarrow \Delta = {a^2} + 2ac + {c^2} – 4ac = {a^2} – 2ac + {c^2} = {(a – c)^2} > 0\\\\ \Rightarrow x = \frac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – ( – (a + c)) \pm \sqrt {{{(a – c)}^2}} }}{{2a}}\\\\ \Rightarrow x = \frac{{a + c \pm (a – c)}}{{2a}}\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{a + c – (a – c)}}{{2a}} = \frac{{2c}}{{2a}} = \frac{c}{a}\\\\{x_2} = \frac{{a + c + (a – c)}}{{2a}} = \frac{{2a}}{{2a}} = 1\end{array} \right.\end{array}\)