جواب تمرین صفحه ۲۱ ریاضی دهم انسانی

در این نوشته با جواب تمرین صفحه ۲۱ ریاضی دهم انسانی همراه شما هستیم.

جواب تمرین صفحه ۲۱ ریاضی دهم انسانی

۱ معادله های زیر را حل کنید.

\(۲{x^2} – 8 = 0\) الف

\(۲{x^2} – 8 = 0 \Rightarrow 2{x^2} = 8 \Rightarrow {x^2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2\)

\((x + 2)(x – 3) = x – 3\) ب

\(\begin{array}{l}(x + 2)(x – 3) = x – 3 \Rightarrow (x + 2)(x – 3) – (x – 3) = 0\\\\ \Rightarrow (x – 3)(x + 2 – 1) = 0 \Rightarrow (x – 3)(x + 1) = 0\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 1\\\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)

\({x^4} – 2{x^2} = 0\) پ

\({x^4} – 2{x^2} = 0 \Rightarrow {x^2}({x^2} – 2) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 0 \Rightarrow x = 0\\\\{x^2} = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\)

\({x^2} = x – \frac{1}{4}\) ت

\(\begin{array}{l}{x^2} = x – \frac{1}{4} \Rightarrow {x^2} – x + \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow {(x – \frac{1}{2})^2} = 0\\\\ \Rightarrow x – \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\end{array}\)

\(۲{x^2} – 8x = 0\) ث

\(۲{x^2} – 8x = 0 \Rightarrow 2x(x – 4) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\\\x = 4\end{array} \right.\)

\({x^2} – 5x + 6 = 0\) ج

\({x^2} – 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x – 2)(x – 3) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\\\x = 3\end{array} \right.\)

\(\frac{{{x^2}}}{3} = x\) چ

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{3} = x \Rightarrow {x^2} = 3x \Rightarrow {x^2} – 3x = 0 \Rightarrow x(x – 3) = 0\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)

\({x^2} = 5 – {x^2}\) ح

\(\begin{array}{l}{x^2} = 5 – {x^2} \Rightarrow 2{x^2} = 5 \Rightarrow {x^2} = \frac{5}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt {\frac{5}{2}} \\\\ \Rightarrow x = \pm \frac{{\sqrt {10} }}{2}\end{array}\)

\({x^2} + 4x + 4 = 0\) خ

\({x^2} + 4x + 4 = 0 \Rightarrow {(x + 2)^2} = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = – 2\)

\(۹{x^2} + 3x – 2 = 0\) د

\(۹{x^2} + 3x – 2 = 0 \Rightarrow (3x + 2)(3x – 1) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\\\x = – \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

\({(x – 3)^2} = 4\) ذ

\({(x – 3)^2} = 4 \Rightarrow x – 3 = \pm 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 3 = 2 \Rightarrow x = 5\\\\x – 3 = – 2 \Rightarrow x = 1\end{array} \right.\)

۲- از مربعی به ضلع ۶cm سه شکل رو به رو بریده شده است. مساحت باقی مانده \(۲۴c{m^2}\) است. طول ضلع کوچک بریده شده چقدر است؟

\( = {۶^۲} = ۳۶\) مساحت مربع

مساحت بریده شده برابر است با:

\( = {S_1} = {x^2}\) مساحت مربع کوچک

\( = {S_2} = x \times 2x = 2{x^2}\) مساحت مستطیل

\( = {S_3} = \frac{{\sqrt 2 x \times \sqrt 2 x}}{2} = {x^2}\) مساحت مثلث

\({S_1} + {S_2} + {S_3} = {x^2} + 2{x^2} + {x^2} = 4{x^2}\)

\( = ۳۶ – ۲۴ = ۱۲ = ۴{x^2}\) مساحت قسمت بریده شده

\( \Rightarrow {x^2} = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt 3 \)

\(x = – \sqrt 3 \) غیر قابل قبول است چون اندازه ضلع منفی نمی شود. بنابراین طول ضلع کوچک بریده شده برابر \(x = \sqrt 3 \) می باشد.

۳- معادلهٔ درجه دومی بنویسید که x=2 و x=-3 جواب های آن باشد.

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow x – 2 = 0\\\\x = – 3 \Rightarrow x + 3 = 0\end{array} \right\} \Rightarrow (x – 2)(x + 3) = 0\\\\ \Rightarrow {x^2} + x – 6 = 0\end{array}\)

۴- معادلهٔ درجه دومی بنویسید که x=1 ریشهٔ مضاعف آن باشد.

\(x = 1 \Rightarrow x – 1 = 0 \Rightarrow {(x – 1)^2} = 0 \Rightarrow {x^2} – 2x + 1 = 0\)

۵ در معادلهٔ \(:{(x – 1)^2} = K\)

الف جواب این معادله را در صورت وجود به ازای K=2، K=4، K=0 و K=-9 به دست آورید.

\(\begin{array}{l}{(x – 1)^2} = K \Rightarrow x – 1 = \pm \sqrt K \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt K \\\\K = 2 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 \\\\x = 1 – \sqrt 2 \end{array} \right.\\\\K = 4 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt 4 = 1 \pm 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\\\x = – 1\end{array} \right.\\\\K = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt 0 \Rightarrow x = 1\\\\K = – 9 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt { – 9} \end{array}\)

به ازای K=-9 جواب ندارد.

ب به ازای چه مقادیری از K معادله ریشهٔ مضاعف دارد؟

به ازای K=0

پ به ازای چه مقادیری از K معادله دو ریشهٔ حقیقی دارد؟

به ازای K>۰ (مقادیر مثبت K)

ت به ازای چه مقادیری از K معادله ریشهٔ حقیقی ندارد؟

به ازای K<0 (مقادیر منفی K)

۶- برای ساخت تابلوی راهنمایی «یک طرفه» روی یک پل، مطابق شکل زیر از برچسب های آبی و سفید استفاده می شود. هزینهٔ \(۱c{m^2}\) برچسب سفید ۳۰ تومان و هزینهٔ \(۱c{m^2}\) برچسب آبی ١٠ تومان است. مجموع هزینهٔ برچسب های سفید و آبی ۲۷/۰۰۰ تومان شده است.

الف اندازهٔ x چقدر است؟

مساحت مستطیل سفید + مساحت مثلث سفید = مساحت فلش

\( = \frac{1}{2} \times 3x \times 2x + x \times 2x = 5{x^2}\)

هزینه برچسب سفید:

\(۵{x^2} \times 30 = 150{x^2}\)

فلش – مستطیل تابلو = مساحت قسمت آبی

\( = ۶۰ \times 40 – 5{x^2} = 2400 – 5{x^2}\)

هزینه برچسب آبی:

\((۲۴۰۰ – ۵{x^2}) \times 10 = 24000 – 50{x^2}\)

\( \Rightarrow 150{x^2} + 24000 – 50{x^2} = 27000\) 27000 = مجموع هزینه ها

\(۱۰۰{x^2} = 3000 \Rightarrow {x^2} = 30 \Rightarrow x = \pm \sqrt {30} \)

\(x = – \sqrt {30} \) غیر قابل قبول است.

ب اگر در این تابلوی راهنمایی، مطابق شکل روبه رو علاوه بر چسب سفید و آبی از خطوط برچسب شبرنگ زرد استفاده کنیم که هزینهٔ 1cm آن ۱۰۰ تومان است، هزینهٔ رنگ آمیزی تابلو 34/800 تومان می شود. در این حالت اندازهٔ x چقدر است؟

\({a^2} = {(x + \frac{x}{2})^2} + {(2x)^2} = \frac{{25}}{4}{x^2} \Rightarrow a = \pm \frac{5}{2}x \Rightarrow a = \frac{5}{2}x\)

\( = ۲a + 3x + 2(2x) = 2(\frac{5}{2}x) + 3x + 4x = 12x\) محیط فلش

\( = ۱۵۰{x^2} + 24000 – 50{x^2} + 1200x = 34800\) هزینه برچسب زرد

\( = ۱۵۰{x^2} + 24000 – 50{x^2} + 1200x = 34800\) هزینه رنگ آمیزی تابلو

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 10\,0{x^2} + 1200x – 10800 = 0 \Rightarrow {x^2} + 12x – 108 = 0\\\\ \Rightarrow (x + 18)(x – 6) = 0 \Rightarrow x = 6\end{array}\)

جواب x=-18 غیر قابل قبول می باشد.